Stewart Calculus 15.1~15.9 리뷰

시험이 끝나고 까먹지 말자고 적는 글이..지만 이번 단원은 쉬어가기 단원이라 생각할 정도로 내용이 없어요. 와ㅏㅏ

무엇을 배웠을까 (15.1~15.8)

이중적분 하는 법 / 변수 순서 바꾸기 / 극좌표로 변환하기
삼중적분 하는 법 / 변수 순서 바꾸기 / 실린더 모양 극좌표로 변환하기 ($(x,y,z)\rightarrow \ (r,\theta,z)$ 자코비안은 $r$) / 구 모양 극좌표로 변환하기 ($(x,y,z)\rightarrow \ (\rho,\theta,\phi)$ 자코비안은 $\rho^2 sin\phi$)


여기까지는 고딩 때 물리2 했다면 회전관성이나 전자기장 세기 같은 거 구하면서 야매로 쓰던 개념을 체계적으로 잡아주는 느낌이었어요.

자코비안이라는 새로운 용어가 보이는데 이는 15.9절부터 정식으로 등장합니다!
15.8절까지는 그냥 "저렇게 좌표 변환 하면 이걸 추가로 곱해줘야 해" 식으로 배우죠 ㅎㅎ (물론 증명하고)

물2 했으면 새로 배우는 내용 (15.9)

$(x,y,z)$를 $(r,\theta,z)$나 $(\rho,\theta,\phi)$ 로 바꾸는 건 먼가 특수한 경우죠. 여기서부터는 이를 일반화시키는 내용을 배웁니다.

다시 실린더모양 극좌표 변환 부분을 이해해보면
$D=\{(x,y)\mid 1\leq x^2+y^2\leq4 \}$
이를 적분하기 위해서는 x와 y가 종속되어 있어서 푸비니 정리도 사용하지 못하고 상당히 더럽죠. 우엥

그래서 $(r,\theta)$ 좌표로 바꿔주면
$D=\{(r,\theta)\mid 1\leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq 2\pi \}$
이를 그래프로 보면 좀 와닿는데요.

딱히 보라고 넣는 건 아니고, 파알못 그래프 그리기 연습해봤어요 넘 힘들네요;; 원은 어떻게 그리는 걸까요

원래 원형이었던 $r$과 $\theta$가 직사각형이 되었어요. 와, 적분이 깨알만큼 쉬워졌죠!!
이처럼 Domain의 형태를 원하는 대로 바꿀 수 있는데, 15.7~8에서는 Cylindrical Coordinate과 Spherical Coordinate만 취급했다면 15.9는 일반화되어 이것저것 합니다.

즉, 15.9에서 배우는 변환의 핵심은 4개의 함수로 bounded된 2차원 도형에서, 둘 둘 모양이 비슷하면 이를 상수취급해서 네모형태로 바꾸어 적분을 쉽게(?) 하는 것입니다. 예제는 나중에 추가할게요

Domain만 바꿨다고 적분 끝난게 아니고, 적분인자 앞에 무언가가 곱해지는데, 이를 자코비언이라고 합니다.
이것도 인터넷 검색하면 나오는데 나중에 추가할래요.

근데 내용 진짜 저거 두개긴 해요. $(x,y)$를 $(u,v)$로 바꾸기 위한 변환을 구하고, 자코비언 구하고, 적분하면 끝!

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내용은 쉬워보이지만 적분은 쉽지 않기에 시험은 또 망했어요ㅠㅠ
교재의 연습문제도 그렇구 배우는 내용은 어떻게 하면 다중적분을 더 쉽게 할까인 것 같은데, 정작 시험으로 주는 문제는 온갖 꼼수를 써도 계산량 엄청난 것들,,